ℵ₀ , ℵ₁ , . . .

Liczb naturalnych 1, 2, 3, ... jest ℵ₀.
Są one przeliczalne. Liczb wymiernych (np. 123/456) też jest ℵ₀, ich zbiór jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

Liczb niewymiernych jest ℵ₁, jest ich więcej (chciałoby się powiedzieć znacznie więcej) niż liczb naturalnych.

Przykładu liczby niewymiernej nie da się wypisać, gdyż składa sie ona z nieskończenie wielu (przeliczalnie wielu - ℵ₀) cyfr. Można je podać symbolicznie, np.: √2, π, e.

Liczbą niewymierną jest np. liczba: 0.1010010001000010000010000001..., za każdym razem o jedno zero więcej, ale bez końca. Jeżeli wypisać WSZYSTKIE liczby naturalne, ale bez przecinków i spacji (123456789101112131415...), to też powstanie liczba niewymierna - JEDNA. To może rzuca jakieś światło na ℵ₁.

Jeżeli przed ostatnio wspomnianą liczbą dodamy "0.", co jest bez różnicy dla alefów, to otrzymamy liczbę należącą do przedziału (0, 1). Liczb niewymiernych w tym przedziale jest ℵ₁. Przedziałów o długośći 1 jest na prostej przeliczalnie, nieskończenie wiele (ℵ₀). Ponieważ ℵ₀ przy ℵ₁ to takie samo nic jak 1 przy ℵ₀, to na prostej punktów odpowiadających liczbom niewymiernym ciągle jest "tylko" ℵ₁. Na płaszczyźnie, w przestrzeni trójwymiarowej jest ich tyle samo. W przestrzeni przeliczalnie, nieskończenie wymiarowej punktów ciągle jest tylko ℵ₁ (co uświadomił mi Tomek Miller - stąd ten tekst).

Georg Cantor udowodnił, nie dość, że istnieje ℵ₂, ale, że ich ciąg jest nieskończony.

Na razie zapytajmy, czego jest ℵ₂? Bo Cantor miał pomysł "Co" jest na końcu ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂, ...

ℵ₂