Nieskończoność

Hopper

Ryszard Krynicki:

Nieskończona ilość prostych
krzyżuje się w twoim sercu:
te proste nie mają początku - ni końca.

Litery i inne znaki można zakodować jako liczby, wystarczy od 00 do 99. Niżej jest ten kod.

0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ abcdefghijklmnopqrstuvwxyzĄąĆćĘęŁłŃńÓóŚśŻżŹź .,?!-:;"()*+/

Zamiast liter dwucyfrowe liczby. Spacje dodane dla przejrzystości.

23 44 40 54 46 50 71 38 61 50 49 36 80 44 47 50 75 65 80 51 53 50 54 55 60 38 43
46 53 61 60 77 56 45 40 80 54 44 67 80 58 80 55 58 50 44 48 80 54 40 53 38 56 86
55 40 80 51 53 50 54 55 40 80 49 44 40 80 48 36 45 63 80 51 50 38 61 63 55 46 56 80 85 80 49 44 80 46 50 71 38 36 81

Spacje usunięte

234440544650713861504936804447507565805153505455603843
465361607756454080544467805880555850444880544053385686
554080515350545540804944408048364563805150386163554656 808580494480465071383681

Niżej, usunięte są też znaki nowej linii (zakodowane jako 98). To jest liczba, liczba naturalna.
Procedurę można powtórzyć z Hamletem, ze wszystkim co Szekspir napisał, ze wszystkim, co ktokolwiek napisał (co jest w Internecie).
W komputerze (w Internecie) wszystko (również zdjęcia) zapisane jest binarnie (0011001110000101011), co nie czyni większej różnicy.
Liczba zapisana we wszystkich komputerach Świata jest liczbą naturalną, ma sie ona do ∞ tak samo jak 1;
jest zerem; 999999999/∞ = 0.

2344405446507138615049368044475075658051535054556038439846536160775645408054446780588055585044488054405338568698554080515350545540804944408048364563805150386163554656808580494480465071383681

Zbiór liczb naturalnych: {1, 2, 3, 4, ...}

Wypisana małą czcionką duża liczba należy do zbioru liczb naturalnych.
Uwaga na marginesie: Żeby mieć liczby naturalne, nie potrzeba jabłuszek do liczenia, wystarczy nic. Jeden, to zbiór zawierający zbiór pusty; dwa, to zbiór, który zawiera zbiór pusty i zbiór, który zawiera zbiór pusty, itd. w nieskończoność.

{∅}, {∅,{∅}}, {∅,{∅,{∅}}}, {∅,{∅,{∅,{∅}}}}, {∅,{∅,{∅,{∅,{∅}}}}}, {∅,{∅,{∅,{∅,{∅,{∅}}}}}}, {∅,{∅,{∅,{∅,{∅,{∅,{∅}}}}}}}, ...

Liczność zbioru. Zbiory: {1, 2, 3, 4} i {A, B, C, D} są równoliczne.

Te dwa zbiory też są równoliczne: {1, 2, 3, 4, ...}, {2, 4, 6, 8, ...}

Są równliczne, bo można przyporządkować: 1-2, 2-4, 3-6, 4-8, ...

Definicja: zbiór nazywamy nieskończonym, jeżeli jest równoliczny z jakimś swoim podzbiorem.

Te dwa zbiory też są równoliczne:
{1, 2, 3, 4, ...}
{10, 100, 1000, 10000, ...}

Dlatego zbiór liczb naturalnych jest nieskończony.

Zbiór liczb wymiernych: {1/2, 77/55, 0.0011, 4.0, ...} jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
Tak można je ponumerować.

Zbiór liczb rzeczywistych: {√2, π, e, 22/33, 7, ...}
Ich nie można ponumerować, ich jest więcej: ℵ₁

ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂ ...